数量关系
解题技巧
比例法

一、核心概念：比例法

1. 什么是比例法？

比例法是一种通过分析题目中各个量之间存在的比例关系，来简化计算、快速求解的数学方法。在公务员考试的“数量关系”模块，很多题目看似复杂，但其内在都遵循着一定的比例关系。掌握了比例法，就如同拥有了一把解开复杂问题的钥匙。

举个身边的例子：

假设你去商店买苹果，每个苹果5元钱。

  • 你买1个，总价是5元。
  • 你买2个，总价是10元。
  • 你买10个，总价是50元。

在这个过程中，苹果的 “单价” 是一个固定不变的量。而 “总价” 和你购买的 “数量” 是两个变化的量。但它们之间存在一种固定的关系： 总价数量=单价(5元)\frac{总价}{数量} = 单价(5元) 总价和数量的比值是一个定值（也就是单价），我们就说“总价”和“数量”成 正比例 关系。

现在换一种情况，假设学校食堂有一项固定的清洁任务，需要80个“工时”才能完成（比如，1个人干80小时）。

  • 如果派1个学生去，需要80小时。
  • 如果派2个学生去，只需要40小时。
  • 如果派8个学生去，只需要10小时。

这里的 “总工作量” 是固定不变的。而 “工作人数” 和 “工作时间” 是变化的量。它们的关系是： 工作人数×工作时间=总工作量(80工时)工作人数 \times 工作时间 = 总工作量(80工时) 工作人数和工作时间的乘积是一个定值，我们就说“工作人数”和“工作时间”成 反比例 关系。

2. 比例法的核心：寻找不变的量

比例法的灵魂在于“寻找不变量”。在题目描述的场景变化中，总有一些量是恒定不变的，或者总量、或者差值、或者某个单一的量。一旦找到了这个“不变量”，我们就可以围绕它建立比例关系，从而看清其他变量是如何变化的。

  • 公式形态一（正比例）： A÷B=kA \div B = k (k为定值)

    • 当k不变时，A和B成正比例。A扩大N倍，B也扩大N倍。

  • 公式形态二（反比例）： A×B=kA \times B = k (k为定值)

    • 当k不变时，A和B成反比例。A扩大N倍，B则缩小为原来的 1N\frac{1}{N}。

常见的三量关系：

  • 路程 = 速度 × 时间
  • 总价 = 单价 × 数量
  • 工作总量 = 效率 × 时间
  • 溶液总质量 = 溶质质量 ÷ 浓度
  • 利润 = 成本 × 利润率

在这些公式中，只要有一个量是固定的，另外两个量就会呈现出明确的正比例或反比例关系。

3. 比例法常用技巧

3.1 统一比例：三量比例

当遇到甲:乙、乙:丙这种形式时，需要通过中间量“乙”作为桥梁，来统一甲、乙、丙三者的比例。

推导过程： 若 甲:乙 = a:b，乙:丙 = c:d 为了统一乙的份数，我们将第一个比例两边同时乘以c，第二个比例两边同时乘以b。

  • 甲:乙 = ac : bc
  • 乙:丙 = bc : bd 于是得到：甲 : 乙 : 丙 = ac : bc : bd

例： 甲:乙=2:3，乙:丙=4:5。求甲:乙:丙。

  • 乙在两个比例中分别是3和4，3和4的最小公倍数是12。
  • 第一个比例扩大4倍：(2×4):(3×4) = 8:12
  • 第二个比例扩大3倍：(4×3):(5×3) = 12:15
  • 所以，甲:乙:丙 = 8:12:15

3.2 差值比例与等比性质

由基础比例式 a:b=c:da:b = c:d (即 ab=cd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} )，可以推导出更丰富的比例关系。

一个常用的变形是 合比与分比，它表明： a+bb=c+dd\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} 以及 a−bb=c−dd\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}

另一个强大的工具是 等比性质： ab=cd=a+cb+d=a−cb−d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}

这个性质在处理“价格差”、“年龄差”等问题时非常有用。

3.3 恒值问题

恒值问题是比例法的核心应用，关键是识别题目中哪个量在整个变化过程中是保持不变的，并以此为基准进行计算。

  • 和不变：如两种溶液混合，总溶液的质量不变。
  • 差不变：如两人之间的年龄差，或者两件商品降价或涨价相同的金额，其价格差不变。
  • 单个量不变：如溶液中加水，溶质的量不变；或者甲给乙一部分钱，但甲乙的总钱数不变。

二、真题讲解

1. 多对象关联问题

例1 某企业为全体员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣。裁缝每小时为52名男员工和35名女员工量尺寸。几小时后，刚好量完所有女员工的尺寸，这时还有24名男员工没量。若男员工与女员工的人数比为11：7，则该企业共有（ ）名员工。

  • A.720
  • B.810
  • C.900
  • D.1080

2. 恒值问题

2.1 和不变：溶液混合

例2 一个瓶中酒精与水的体积比是3：1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？

  • A.31：9
  • B.7：2
  • C.31：40
  • D.20：11

2.2 差不变：价格升降

例3 甲乙两种商品的价格比是3：5，如果他们的价格分别下降50元，它们的价格比是4：7，这两种商品原来的价格各为多少元？

  • A.300元 500元
  • B.375元 625元
  • C.450元 750元
  • D.525元 875元

2.3 单一量不变：加水稀释

例4 千禧锻造厂要制造一批一定比例的锡铁金属合金，第一次加入适量的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的4%，第二次加入同样多的金属铁后，金属锡的含量占总重3%，如果第三次再加入同样多的金属铁后，此时金属锡的含量占总重量的百分比是（ ）

  • A.2.5%
  • B.2.4%
  • C.2.7%
  • D.2.8%

2.4 和不变但内部分配变化

例5 股民甲和乙分别持有同一家公司的股票。如果乙将自己的10000股转给甲，则此时甲持有该股票的份额是乙的3倍；如果甲将自己的1000股转给乙，则此时乙持有该股票的份额比甲多6倍。那么，甲乙二人共持有( )股该公司股票。

  • A.6400
  • C.17800
  • B.17600
  • D.28800

3. 基础比例应用

3.1 效率与时间的反比关系

例6 甲乙两辆清洁车执行东西两城的公路清洁任务，甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东西两城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫15千米，东西两城相距多少千米?

  • A.60
  • B.75
  • C.90
  • D.135

3.2 速度与时间的连锁比例

例7 一人从甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一个人坐公车从甲地到乙地，再从乙地步行回到甲地一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间?

三、技巧总结

  1. 先看比例，再看问题：读题时，优先识别题目中出现的“几比几”、“是…的几倍”、“百分之几”等词语，这些都是比例法的信号。
  2. 找准不变量是核心：解题前先问自己，在这个过程中，什么是不变的？是总和、差值、还是某个特定物体的量？抓住不变量，就抓住了破题的关键。
  3. 份数思想代替具体数值：不要过早代入具体数字计算，用“份数”来思考。将比例关系看作是份数的分配，可以大大简化思路。
  4. 统一比例是前提：当出现多个比例关系时（如三量比例），必须先通过中间量将所有比例统一到同一个标准下，才能进行后续的加减比较。
  5. 灵活运用正反比：
    • “一同”则正：A=B×CA=B \times C，若A固定，B和C成反比；若B固定，A和C成正比。可以记作“一固（定）一正（比）”。
    • “相遇/追及”：时间相同，路程和速度成正比。
    • “往返/环绕”：路程相同，时间和速度成反比。
  6. 方程法是备用选项：当比例关系非常复杂，或者找不到不变量时，方程法是最稳妥的最后防线。但通常，比例法会更快。
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