最值问题

一、核心概念

1. 最值问题分类与解题方法

最值问题分为三类：最不利构造、数列构造、多集合反向构造。核心解题思路为极端分析法（构造符合条件的极端数值）

(1) 最不利构造问题

题型特征：题干含"至少…保证…"

解题方法：

• 最不利情况数 = 所有不满足目标的情况总数
• 答案 = 最不利情况数 + 1

核心思想：考虑所有可能的不利情况，再加1个确保目标达成

(2) 数列构造问题

题型特征：求"某个主体排名第几时最值"（如"第三名最少得几分"）或"最……最……"

解题步骤：

1. 排序定位：设所求量为x
2. 反向构造：
   • 求最大值→其他量尽可能小
   • 求最小值→其他量尽可能大
3. 加和求解：根据总和列方程
4. 取整规则：求最小值时向上取整；求最大值时向下取整

(3) 多集合反向构造问题

题型特征：求"全部满足的至少有多少"（如"四科目都喜欢的最少人数"）

解题方法：利用容斥原理的反向思维，先求每项不满足的数量

2. 解题核心思想演示

我们通过一个生活中的例子来理解数列构造问题的核心思想：

场景模拟：分糖果

假设有20颗糖果，要分给小明、小红、小刚三个小朋友，要求每个小朋友至少分到1颗，且三个人分到的糖果数量各不相同。问：分到糖果最多的小朋友，最多能分到多少颗？最少能分到多少颗？

求"最多"的最大值（最多的小朋友最多能分到几颗）

• 核心思想：要让一个量最大，就让其他量尽可能小
• 构造过程：想让"最多的小朋友"分到的糖果数量达到最大，就需要让另外两个小朋友分到的糖果数量尽可能少
• 具体分析：
  • 根据约束条件，每人至少1颗，且数量不同
  • 让小红拿1颗，小刚拿2颗（因为数量要不同）
  • 此时，剩下的糖果都给小明：$20 - 1 - 2 = 17$ 颗
• 结论：最多的小朋友最多可以分到17颗

求"最多"的最小值（最多的小朋友最少能分到几颗）

• 核心思想：要让几个量的最大值变小，就要让这几个量尽可能地接近（平均）
• 构造过程：
  • 总共20颗糖，分给3个人，平均每人约 $20 \div 3 ≈ 6.67$ 颗
  • 为了让数量尽量接近且各不相同，设三人分到 $x, y, z$ 颗，且 $x > y > z ≥ 1$
  • 列方程：$x + y + z = 20$
  • 因为 $x > y > z$，所以 $y ≤ x-1, z ≤ y-1 ≤ x-2$
  • 代入不等式：$x + (x-1) + (x-2) ≥ 20$
  • 解得：$3x ≥ 23 \implies x ≥ 7.67$
  • 取整规则：因为求最小值，所以向上取整，$x = 8$
  • 验证：当$x=8$时，$y+z=12$，可取$y=7, z=5$，满足条件
• 结论：最多的小朋友最少可以分到8颗

二、真题讲解

数列构造

一项测验共有29道单项选择题，答对得5分，答错减3分，不答不得分也不减分，答对15题及以上另加10分，否则另减5分。小郑答题共得60分，问他最少有几道题未答？

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

数列构造

5位员工平均90分，最低77分，分数互不相同，第二名员工至少得多少分？

• A. 90
• B. 91
• C. 92
• D. 93

最不利构造

花市现场有郁金香、月季、牡丹各20盆，至少搬出多少盆才能保证一定有郁金香？

• A. 40
• B. 41
• C. 42
• D. 43

数列构造

100名学生参加5项活动，人数最多的活动不超过最少的2倍，参加人数最少的活动至少多少人？

• A. 11
• B. 12
• C. 13
• D. 14

和定最值问题

某单位的五个处室分别有12、18、20、22、30名工作人员，现在要从中抽调45人组成三个工作组，要求每个处室至少抽调2人，每个工作组的人数不得少于10人。问第一处最多抽调多少人？

• A. 8
• B. 9
• C. 10
• D. 11

三、技巧总结

1. 题型识别技巧

• 看到"至少…保证…" → 最不利构造
• 看到"第几名…最…" → 数列构造
• 看到"最…最…" → 数列构造
• 看到"全部满足…至少" → 多集合反向构造

2. 核心解题策略

极端思维法则：

• 求最大值 → 其他量取最小值
• 求最小值 → 其他量取最大值

关键取整规则：

• 求最小值时向上取整
• 求最大值时向下取整

3. 解题步骤标准化

数列构造问题四步法：

1. 排序定位：设所求量为x
2. 反向构造：根据求最大值还是最小值确定其他量的取值方向
3. 加和求解：根据总和列方程求解
4. 取整规则：根据求最大值还是最小值确定取整方向

4. 常见易错点

1. 忽略约束条件：注意题目中的所有限制条件，包括隐含条件
2. 取整方向错误：求最小值向上取整，求最大值向下取整
3. 构造不当：没有真正让相关量达到极端值
4. 验证不充分：构造的数值要满足所有约束条件

5. 解题技巧补充

1. 代入排除法：当正面求解困难时，从选项入手验证
2. 数字特性法：利用奇偶性、倍数关系等特性简化计算
3. 分情况讨论：复杂问题要分情况分析，确保不遗漏
4. 边界检验：验证极端情况的合理性和可行性

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