多重数列

一、核心概念

1. 什么是多重数列？

想象一下，在一个队伍里，男生和女生站成一列，但男生们遵循自己的身高排序（比如从矮到高），女生们则遵循她们自己的年龄排序（比如从大到小）。从远处看，这只是一列高低胖瘦各不相同的人，似乎毫无规律。但只要我们能识别出“男生”和“女生”这两个群体，并把他们分开看，各自的规律就一目了然了。

多重数列就是这样一个“伪装”起来的数列。它本身由两个或两个以上的独立子数列交叉或者分组构成。如果我们直接观察整个数列，往往会觉得混乱、找不到规律。但只要我们能用正确的方法将其“拆分”开，就能发现每个子数列都遵循着非常简单的规律（如等差、等比、平方、立方等）。

2. 如何识别多重数列？

在考场上，我们如何快速判断一个数列可能是多重数列呢？有以下几个典型特征：

• 项数特别长：一般题目会给出6项及以上的数字。项数越长，是多重数列的可能性就越大。因为简单的数列不需要这么多项来揭示规律。
• 括号分组：题目直接用括号将数字两两或三三一组分开，例如 (1, 2), (3, 6), (4, 12), ...，这是最明显的提示。
• 规律“时隐时现”：数列整体上看不出等差、等比等关系，但局部或跳跃来看似乎存在某种规律。

3. 主要类型

多重数列主要有两种基本形式：

1. 交叉数列（隔项数列）：这是最常见的一种。奇数项构成一个独立的子数列，偶数项构成另一个独立的子数列。

   • 例子：1, 10, 3, 20, 5, 30, (?), (?)
   • 分析：
     • 奇数项：1, 3, 5, (?) -> 是公差为2的等差数列，所以 (?) 是 7。
     • 偶数项：10, 20, 30, (?) -> 是公差为10的等差数列，所以 (?) 是 40。

2. 分组数列：将数列中的数字按照两个、三个或四个一组进行划分，每组内的数字遵循着相同的运算规律。

   • 例子：1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9, (?, ?, ?)
   • 分析：
     • 三个一组进行分组：(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9), (?, ?, ?)
     • 观察第一组：1+2=3（前两项之和等于第三项）。
     • 验证第二组：2+4=6（规律成立）。
     • 验证第三组：3+6=9（规律成立）。
     • 那么第四组也应遵循此规律。第四组的前两项可以看作是 4（因为是第4组），8（4*2），所以是 (4, 8, 12)。

二、真题讲解

主题：交叉数列

例1：交叉等比数列

2，2，4，6，8，18，16，（ ）

• A. 72
• B. 54
• C. 48
• D. 32

例2：交叉等差数列

21，26，23，24，25，22，27，（ ）

• A. 28
• B. 29
• C. 20
• D. 30

主题：分组数列

例3：分组商为等差数列

1、1、8、16、7、21、4、16、2、（）

• A. 10
• B. 20
• C. 30
• D. 40

例4：分组积为常数

5、24、6、20、（ ）、15、10、（ ）

• A. 7、15
• B. 8、12
• C. 9、12
• D. 10、10

例5：分组差为常数

4，3，1，12，9，3，17，5，（ ）

• A. 12
• B. 13
• C. 14
• D. 15

例6：交叉复杂数列

2、3、4、9、16、45、（ ）、315

• A、90
• B、96
• C、102
• D、120

主题：交叉数列与分组数列综合

例7：交叉二级等差数列

1，6，5，7，2，8，6，9，（ ）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

三、综合练习

练习1

257，178，259，173，261，168，263，（ ）

• A. 163
• B. 164
• C. 178
• D. 275

练习2

12，10，14，13，16，16，（ ）、（ ）

• A. 14、18
• B. 20、19
• C. 18、19
• D. 15、18

练习3

5，24，6，20，4，（ ），40，3

• A. 28
• B. 30
• C. 36
• D. 42

练习4

400，360，200，170，100，80，50，（ ）

• A. 10
• B. 20
• C. 30
• D. 40

练习5

2，7，9，16，20，29，35，46，（ ）

• A. 48
• B. 50
• C. 52
• D. 54

练习6

3，6，18，4，15，60，5，8，（ ）

• A. 48
• B. 86
• C. 92
• D. 40

练习7

1，2，5，3，4，19，5，6，（ ）

• A. 61
• B. 51
• C. 41
• D. 31

练习8

5，6，8，12，12，20，17，30，（ ）

• A. 19
• B. 23
• C. 26
• D. 30

练习9

1+3, 2+2, 1+1, 2+3, 1+2, 2+1, ( )

• A. 2×2
• B. 2+3
• C. 3×1
• D. 1+3

练习10

99.01, -81.03, 63.05, -45.07, 27.09, ( )

• A. 9.01
• B. -9.11
• C. -11.01
• D. 11.11

练习11

4.2, 5.2, 8.4, 17.8, 44.22, ( )

• A. 125.62
• B. 85.26
• C. 99.44
• D. 125.64

练习12

ln4-ln3, ln8-ln8, ln16-ln15, ln32-ln24, ( ), ln128-ln48

• A. ln64-ln35
• B. ln32-ln28
• C. ln64-ln36
• D. ln32-ln35

练习13

3, $3 +\sqrt{2}$, $5+\sqrt{3}$, $9$, (?), $13+\sqrt{6}$

• A. $9+\sqrt{5}$
• B. $10+\sqrt{5}$
• C. $11+\sqrt{5}$
• D. $12+\sqrt{5}$

四、技巧总结

1. 先看项数，心中有数：看见一个长数列（6-8项及以上），第一反应就应该是“这可能是个多重数列”，建立心理预期。
2. 隔项（奇偶）优先：交叉数列是最常见、最基础的多重数列形式。无论数列多复杂，优先尝试将奇数项和偶数项分开，看各自是否构成简单规律。这个方法能解决大多数问题。
3. 分组尝试，锁定规律：如果隔项法不奏效，或者项数是 3 的倍数（如9项、12项），则要考虑分组。
   • 两两分组：通常寻找组内的 和、差、积、商 是否为常数或简单数列。
   • 三三分组：通常寻找组内前两项通过 加、减、乘、除 得到第三项的规律。
4. 组合构造，灵活变通：对于难题，规律可能更复杂，例如：
   • 递推关系：(A, B) -> C，即前两项运算得到第三项。
   • 组间关系：第一组运算得到第二组的某一项。
   • 与序号有关：A_n = A_{n-1} + n，运算中加入了项的序号。
5. 验证规律，避免陷阱：找到规律后，至少要用两组（或两步）进行验证，确保规律是稳定适用的，而不是巧合。特别是对于复杂构造，多验证一步能大大提高正确率。

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