数量关系
解题技巧
方程法

方程法

几乎解决所有数量关系问题的通用方法 ！

一、应用范围

方程法在行测数量关系题中应用广泛,主要包括以下类型:

  • 和差倍比问题
  • 鸡兔同笼问题
  • 盈亏问题
  • 工程问题
  • 经济利润问题
  • 行程问题

二、设未知数的原则

在使用方程法解题时,正确设置未知数是关键。以下是三个重要原则:

  1. 优先设所求的量: 在同等情况下,优先将题目所求的量设为未知数。这样可以直接得到答案,避免额外的计算步骤。

  2. 优先设小不设大: 选择较小的量作为未知数,可以简化计算过程,减少出错概率。

  3. 设中间变量: 当问题涉及分数、百分数或比例倍数时,可以考虑设置中间变量(如份数)作为未知数。这种方法often能简化复杂的关系。

举例: 在鸡兔同笼问题中,我们通常选择鸡的数量作为未知数,而不是兔子的数量,因为鸡的脚数较少,计算更简便。

三、重要公式

等比公式

ab=cd=a+cb+d=a−cb−d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}

这个公式在解决比例相关问题时非常有用。它表明:

  • 两个比值相等
  • 它们的和的比值也等于原比值
  • 它们的差的比值也等于原比值

应用场景: 这个公式在解决混合问题(如配比、浓度)和平均数问题时经常使用。

实际应用举例

例题: "某商店售出甲、乙两种商品,售价比为3:4,售出数量比为5:3。问售出总金额中,甲商品占多少?"

解析:

  1. 设甲商品单价为3x,则乙商品单价为4x

  2. 甲商品数量为5y,乙商品数量为3y

  3. 根据等比公式:

    甲商品总价乙商品总价=3x⋅5y4x⋅3y=54\frac{\text{甲商品总价}}{\text{乙商品总价}} = \frac{3x \cdot 5y}{4x \cdot 3y} = \frac{5}{4}

  4. 因此,甲商品占总金额的比例为:

    55+4=59\frac{5}{5+4} = \frac{5}{9}

答案: 甲商品占总金额的59\frac{5}{9}。

四、例题讲解

等比公式应用

例1： 有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%；质量分别 为600克和240克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使他们的浓度相同， 则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为：

  • A. 320克
  • B. 360克
  • C. 370克
  • D. 377克

方法1：方程法

  1. 设加入甲、乙两瓶盐水的水量都为x克。

  2. 根据浓度计算公式：浓度 = 溶质质量 / 溶液质量

  3. 列出方程：

    600×16%600+x=240×25%240+x\frac{600 \times 16\%}{600 + x} = \frac{240 \times 25\%}{240 + x}

  4. 化简得：

    96600+x=60240+x\frac{96}{600 + x} = \frac{60}{240 + x}

  5. 解方程，得到 x = 360

因此，答案为 B. 360克

方法2：等比公式法

  1. 使用等比公式：ab=cd=a+cb+d=a−cb−d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}

  2. 代入数据：96600+x=60240+x\frac{96}{600+x} = \frac{60}{240+x}

  3. 根据等比公式，有：

    96600+x=60240+x=96+60600+x+240+x=96−60600+x−(240+x)\frac{96}{600+x} = \frac{60}{240+x} = \frac{96+60}{600+x+240+x} = \frac{96-60}{600+x-(240+x)}

  4. 化简得：

    8600+x=5240+x=13840+2x=3360\frac{8}{600+x} = \frac{5}{240+x} = \frac{13}{840+2x} = \frac{3}{360}

  5. 解方程，得到 x = 360

因此，答案为 B. 360克

占比问题

结论：若某人占其他人总和的 1x\frac{1}{x}，则该人占全部总人数的 1x+1\frac{1}{x+1}。

推导过程：

  1. 设其他人总和为 xx 份
  2. 则某人为 11 份（因为占其他人总和的 1x\frac{1}{x}）
  3. 所有人总和为 x+1x + 1 份
  4. 某人占总量的比例为 1x+1\frac{1}{x+1}

例题：

公司销售部门共有甲、乙、丙、丁四个销售小组，本年 度甲组销售金额是该部门销售金额总数的 1/3，乙组销售金额是另外三个小 组总额的 1/4，丙组销售金额比丁组销售金额多 200 万元，比甲组少 200 万元。问销售部门销售总金额是多少万元？

  • A. 1800
  • B. 2400
  • C. 3000
  • D. 3600

我们需要计算销售部门的总销售金额 SS 万元，基于以下信息：

  1. 甲组销售金额： A=S3A = \frac{S}{3}

  2. 乙组销售金额： 乙组的销售金额是其他三个组（甲、丙、丁）的总和的 14\frac{1}{4}： B=A+C+D4B = \frac{A + C + D}{4}

  3. 丙组和丁组的关系：

    • 丙组比丁组多 200 万元： C=D+200C = D + 200
    • 丙组比甲组少 200 万元： C=A−200C = A - 200

步骤 1：确定丁组的销售金额

从丙组的两个关系式，我们可以得到： D+200=A−200D=A−400D + 200 = A - 200 \\ D = A - 400

步骤 2：表示乙组的销售金额

将 CC 和 DD 用 AA 表示： C=A−200D=A−400C = A - 200 \\ D = A - 400 因此： B=A+(A−200)+(A−400)4=3A−6004B = \frac{A + (A - 200) + (A - 400)}{4} = \frac{3A - 600}{4}

步骤 3：表示总销售金额

总销售金额 SS 包括四个小组的销售： S=A+B+C+DS=A+3A−6004+(A−200)+(A−400)S=3A−600+3A−6004S = A + B + C + D \\ S = A + \frac{3A - 600}{4} + (A - 200) + (A - 400) \\ S = 3A - 600 + \frac{3A - 600}{4}

将 A=S3A = \frac{S}{3} 代入： S=3(S3)−600+3(S3)−6004S=S−600+S−6004S = 3 \left( \frac{S}{3} \right) - 600 + \frac{3 \left( \frac{S}{3} \right) - 600}{4} \\ S = S - 600 + \frac{S - 600}{4}

步骤 4：解方程

将方程整理： S=S−600+S−60040=−600+S−6004600=S−60042400=S−600S=3000S = S - 600 + \frac{S - 600}{4} \\ 0 = -600 + \frac{S - 600}{4} \\ 600 = \frac{S - 600}{4} \\ 2400 = S - 600 \\ S = 3000

结论

销售部门的总销售金额是 3000 万元。

正确答案：C. 3000

多个未知数问题

**多个未知对象，设相同值为未知数 xx **

例： 姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱合在一起是 180 元，如果老大钱数增加 8 元，老二钱数减少 8 元，老三钱数乘以 2 倍，老四钱数减少到原来的一半，则此时四个人的钱数相同。若其中两人的 钱数凑在一起正好买一个价格为 68 元的音乐盒，则这两个人是：

  • A.老二和老三
  • C.老大和老二
  • B.老大和老三
  • D.老二和老四

解析： 方法 1：方程法 逆向思维，设四人相同的钱数为 xx 元，则这四人原有钱数分别为： x−8,x+8,x2,2xx - 8, \quad x + 8, \quad \frac{x}{2}, \quad 2x 四人原来钱数之和为 180 元，可得方程： x+8+x−8+x2+2x=180x + 8 + x - 8 + \frac{x}{2} + 2x = 180 解得： x=40x = 40 则四人原有钱数分别为 32、48、20、80 元，恰好凑成 68 元的是 48 元和 20 元，即老二和老三。 A

方法 2：代入排除法 四人钱合在一起是 180 元，设四人分别有 aa、bb、cc、dd 元，可得： {a+b+c+d=180b=a+16d=4c\begin{cases} a + b + c + d = 180 \\ b = a + 16 \\ d = 4c \end{cases} 其中两人的钱数凑在一起正好买价格为 68 元的音乐盒，代入 AA：b+c=68b + c = 68，根据上式化简，得到： 2b−16+5c=1802b - 16 + 5c = 180 解得 b=48b = 48，c=20c = 20，满足 A.

比例法不定方程