化除为乘

核心概念

基本原理

化除为乘是资料分析中的核心速算技巧，其本质是利用数学中的泰勒级数展开原理，将复杂的除法运算转化为简单的乘法运算。

让我们从一个生活中的例子开始理解这个概念：

生活例子：小明去超市买苹果，原价10元/斤，现在打9.9折（即0.99倍），他买了2斤，实际付款19.8元。如果我们想知道按原价应该付多少钱，就需要计算： $\frac{19.8}{0.99}$

传统计算方法比较复杂，但我们可以观察到0.99非常接近1，具体来说： $0.99 = 1 - 0.01$

因此： $\frac{19.8}{0.99} = \frac{19.8}{1-0.01}$

公式推导

当分母形如 $1 \pm x$ （其中 $|x|$ 很小）时，我们可以利用以下数学原理：

情况一：分母为 $1-x$ 的形式

根据泰勒级数展开： $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$

当 $|x| < 0.05$ 时， $x^2$ 、 $x^3$ 等高次项非常小，可以忽略，因此：

$\frac{1}{1-x} \approx 1 + x$

所以： $\frac{a}{1-x} \approx a \times (1+x)$

情况二：分母为 $1+x$ 的形式

同样根据泰勒级数展开： $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$

当 $|x| < 0.05$ 时： $\frac{1}{1+x} \approx 1 - x$

所以： $\frac{a}{1+x} \approx a \times (1-x)$

适用条件

核心判断原则：化除为乘技巧的使用需要同时满足两个条件：

条件一：数学条件 关键条件： $|x| < 0.05$ （即5%），此时误差通常小于0.25%，在公务员考试中完全可以接受。

条件二：选项条件 重要提醒：建议化除为乘需要看选项，选项差距较大，则在4%的距离下使用

当选项之间差距较大（通常相差5%以上）时，即使 $|x|$ 接近0.05，使用化除为乘仍然安全
当选项之间差距较小（相差2%以内）时，建议 $|x| < 0.04$ 时才使用，以确保精度
当选项非常接近（相差1%以内）时，不建议使用化除为乘，应直接计算

判断方法：

第一步：观察选项差距大小
第二步：观察分母是否接近1
第三步：将分母写成 $1 \pm x$ 的形式
第四步：根据选项差距确定 $|x|$ $∣ x ∣$ 的使用范围
- 选项差距大： $|x| < 0.05$
- 选项差距中等： $|x| < 0.04$
- 选项差距小：不建议使用

真题讲解

主题一：增长率计算问题

例1（2023国考）：某地区2022年GDP为1200亿元，比2021年增长了4.2%。求2021年该地区的GDP。

A. 1150.7亿元
B. 1151.4亿元
C. 1152.1亿元
D. 1152.8亿元

主题二：折扣价格问题

例2（2024省考）：某商品原价500元，现价格为485元。问现价相当于原价的几折？

A. 9.5折
B. 9.6折
C. 9.7折
D. 9.8折

主题三：比重变化问题

例3（2023省考）：某公司2023年总收入为8000万元，其中网络销售收入为2400万元。如果网络销售收入比2022年增长了20%，而总收入比2022年增长了4%，求2022年网络销售收入占总收入的比重。

A. 28.8%
B. 29.2%
C. 29.6%
D. 30.0%

主题四：同比增长率问题

例4（2024国考）：某企业2023年营业收入为5200万元，比2022年增长了3.8%。求2022年该企业的营业收入。

A. 5010万元
B. 5012万元
C. 5015万元
D. 5018万元

主题五：环比增长率问题

例5（2023省考）：某地区2023年第四季度GDP为1800亿元，比第三季度增长了2.1%。求第三季度GDP。

A. 1762亿元
B. 1763亿元
C. 1764亿元
D. 1765亿元

主题六：复合增长率问题

例6（2024省考）：某公司产品销量2023年为960万件，比2021年增长了4.5%。如果2022年比2021年增长了2.2%，求2022年的销量。

A. 920万件
B. 922万件
C. 925万件
D. 928万件

技巧总结

快速判断技巧

选项差距判断示例

选项设置	差距类型	建议使用条件	示例
A.1150 B.1180 C.1210 D.1240	差距大	\|x\| < 0.05	相差约30，占比2.5%
A.1150 B.1165 C.1180 D.1195	差距中	\|x\| < 0.04	相差约15，占比1.3%
A.1150 B.1155 C.1160 D.1165	差距小	不建议使用	相差约5，占比0.4%

计算技巧

技巧1：快速心算

原式	转换后	心算技巧
$\frac{1200}{1.02}$	$1200 \times 0.98$	$1200 - 1200 \times 0.02 = 1200 - 24 = 1176$
$\frac{800}{0.97}$	$800 \times 1.03$	$800 + 800 \times 0.03 = 800 + 24 = 824$
$\frac{2400}{1.04}$	$2400 \times 0.96$	$2400 - 2400 \times 0.04 = 2400 - 96 = 2304$
$\frac{1500}{0.95}$	$1500 \times 1.05$	$1500 + 1500 \times 0.05 = 1500 + 75 = 1575$

技巧2：分步计算图解

分母 > 1 的情况

例： $\frac{3600}{1.03}$

第一步：识别 $1.03 = 1 + 0.03$
第二步：应用公式 $\frac{a}{1+x} \approx a(1-x)$
第三步： $3600 \times (1-0.03) = 3600 \times 0.97$
第四步： $3600 - 3600 \times 0.03 = 3600 - 108 = 3492$

分母 < 1 的情况

例： $\frac{2800}{0.98}$

第一步：识别 $0.98 = 1 - 0.02$
第二步：应用公式 $\frac{a}{1-x} \approx a(1+x)$
第三步： $2800 \times (1+0.02) = 2800 \times 1.02$
第四步： $2800 + 2800 \times 0.02 = 2800 + 56 = 2856$

技巧3：误差控制

当 $|x| = 0.05$ 时，误差约为0.25%：

对于选择题，这个误差完全可以接受
如果计算结果在两个选项之间，选择更接近的那个
特别注意：当 $|x| > 0.1$ 时，误差会超过1%，此时不建议使用此方法

技巧4：常用数值快速转换表

分母形式	转换系数	记忆技巧	误差范围
1.01	×0.99	减1%	0.01%
1.02	×0.98	减2%	0.04%
1.03	×0.97	减3%	0.09%
1.04	×0.96	减4%	0.16%
1.05	×0.95	减5%	0.25%
0.99	×1.01	加1%	0.01%
0.98	×1.02	加2%	0.04%
0.97	×1.03	加3%	0.09%
0.96	×1.04	加4%	0.16%
0.95	×1.05	加5%	0.25%

常见陷阱

⚠️ 易错点提醒

符号错误：分母大于1时用减法，小于1时用加法
适用范围误判：忽略选项差距，盲目按|x| < 0.05使用
选项差距陷阱：当选项差距很小时，即使|x| < 0.05也可能导致选错答案
精度要求：如果题目要求精确计算，不要使用近似方法
过度依赖：不是所有接近1的分母都适合化除为乘，要结合选项判断

🎯 实战决策流程

第一步：快速扫描选项
• 选项差距 ≥ 5% → 可以使用化除为乘（|x| < 0.05）
• 选项差距 2%-5% → 谨慎使用（|x| < 0.04）
• 选项差距 < 2% → 建议直接计算

第二步：评估计算复杂度
• 如果直接计算很简单，优先直接计算
• 如果化除为乘能显著简化，且满足条件，则使用

第三步：验证合理性
• 计算结果是否在合理范围内
• 是否与其他选项有明显区分度

综合应用策略

优先级判断：
- 首先检查是否满足使用条件
- 其次评估计算复杂度
- 最后考虑精度要求
组合使用：
- 可以与其他速算技巧组合使用
- 在复杂计算中，先用化除为乘简化，再用其他方法
实战建议：
- 平时练习时要熟练掌握 $1 \pm 0.01$ 到 $1 \pm 0.05$ 的快速转换
- 考试时首先观察选项差距，再决定是否使用化除为乘
- 当选项差距较大时，可以放心使用；差距较小时要谨慎
- 遇到不确定的情况，可以快速验算一下
- 记住口诀：选项差距大，4%内可用；选项差距小，直接算更稳

💡 终极使用策略

化除为乘不是万能的，它是一个需要结合选项差距来判断的技巧。选项差距较大时，化除为乘能够显著提升计算速度；选项差距较小时，直接计算往往更加稳妥。掌握这个平衡点，才能真正发挥化除为乘的威力！

通过大量练习这些技巧，特别是选项差距的快速判断，你将能够在资料分析中显著提升计算速度和准确率，为解答更多题目争取宝贵时间。

除法-拆分法分数比较-差分法