两位数乘两位数：内外交错乘法

核心概念

内外交错乘法原理

内外交错乘法是一种快速计算两位数乘两位数的方法，其核心思想是将乘法运算分解为四个部分，然后通过巧妙的组合实现快速计算。

基本公式推导：

设两个两位数分别为 $\overline{ab}$ 和 $\overline{cd}$，其中 $a$、$c$ 为十位数字，$b$、$d$ 为个位数字。

$\overline{ab} \times \overline{cd} = (10a + b) \times (10c + d)$

展开得： $= 100ac + 10ad + 10bc + bd$ $= 100ac + 10(ad + bc) + bd$

这就是内外交错乘法的数学基础：

• 外积：$ac$（十位数字相乘）
• 交错积：$ad + bc$（交叉相乘后相加）
• 内积：$bd$（个位数字相乘）

生活化理解

想象你在超市买东西：

• 买了 23 包饼干，每包 15 元
• 可以这样思考：20包×10元 + 20包×5元 + 3包×10元 + 3包×5元
• 即：$2 \times 1 \times 100 + (2 \times 5 + 3 \times 1) \times 10 + 3 \times 5$
• 结果：$200 + 130 + 15 = 345$ 元

计算步骤模板

对于 $\overline{ab} \times \overline{cd}$：

1. 第一步：计算外积 $a \times c$，结果写在百位
2. 第二步：计算交错积 $a \times d + b \times c$，结果写在十位
3. 第三步：计算内积 $b \times d$，结果写在个位
4. 第四步：处理进位，得到最终结果

可视化计算过程

真题讲解

主题一：标准两位数乘法

例1： 某工厂生产零件，每小时生产 47 个，连续工作 23 小时，共生产多少个零件？

A. 1081个
B. 1071个
C. 1061个
D. 1051个

例2： 学校购买文具，每套 56 元，购买 34 套，需要支付多少钱？

A. 1904元
B. 1894元
C. 1884元
D. 1874元

主题二：含进位的复杂计算

例3（2024联考）： 某商店销售商品，单价 78 元，销售 69 件，总销售额是多少？

A. 5382元
B. 5372元
C. 5362元
D. 5352元

例4（2023国考）： 工程队铺设道路，每天铺设 95 米，连续 87 天，共铺设多少米？

A. 8265米
B. 8255米
C. 8245米
D. 8235米

主题三：接近整十数的巧算

例5（2024省考）： 某班级订购校服，每套 49 元，订购 51 套，总费用是多少？

A. 2499元
B. 2489元
C. 2479元
D. 2469元

例6（2023联考）： 图书馆购买图书，每本 98 元，购买 102 本，总价是多少？

A. 9996元
B. 9986元
C. 9976元
D. 9966元

主题四：特殊数字组合

例7（2024国考）： 某公司员工工资，每人每月 25 元补贴，共有 48 人，月补贴总额是多少？

A. 1200元
B. 1190元
C. 1180元
D. 1170元

例8（2023省考）： 学校组织活动，每组 15 人，共 36 组，总人数是多少？

A. 540人
B. 530人
C. 520人
D. 510人

技巧总结

1. 基础技巧

• 标准流程：外积→交错积→内积→组合进位
• 位值对应：确保每个积放在正确的位置上
• 进位处理：特别注意交错积超过两位数的情况

2. 高级技巧

平方差公式应用

当两数关于某数对称时：$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

适用情况：

• 49 × 51 = $(50-1)(50+1) = 2499$
• 98 × 102 = $(100-2)(100+2) = 9996$

特殊数字识别

• 25的倍数：25 × 4 = 100，优先寻找4的倍数
• 125的倍数：125 × 8 = 1000，优先寻找8的倍数
• 15的倍数：15 = 3 × 5，可以分解计算

3. 速算检验

估算验证

• 首位估算：47 × 23 ≈ 50 × 20 = 1000
• 尾数验证：7 × 3 = 21，结果尾数应为1

数量级检查

• 两位数 × 两位数，结果通常在1000-10000之间
• 如果结果超出此范围，需要重新检查计算

4. 常见错误避免

• 交错积遗漏：必须计算两个交叉乘积并相加
• 进位错误：交错积结果超过9时要正确进位
• 位值混乱：确保百位、十位、个位对应正确
• 符号处理：注意题目中的单位和实际意义