不定方程（组）

特征：

未知数个数>方程个数

未知数个数>方程个数，且受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等）的方程或方程组。如， $3x+5y=41$ ，两个未知数但是只有一个方程。

考点题型

技巧：

1. 尾数法

$3x+10y=41$ ， $10y$ 尾数是 $0$ ， $3x$ 尾数一定是 $1$ ， $x=7$ ， $y=2$ .

例题：超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

A. 3
C. 7
B. 4
D. 13

解析：不定方程。设大、小包装盒各有x、y个，12x＋5y=99。方法1：尾数法。
5y 尾数为0或5，则12x尾数为9或4，9不符合，只有4，x为2或7， x=2，y=15，符合；x=7，y=3，相加≠10多个，不符合。因此x=2，y=15，相差13，D。
方法2：奇偶特性
12x 为偶数、99为奇数，故5y为奇数，则尾数为5。12x尾数为9 5=4，得x=2或x=7。代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时 15－2=13；当x=7时，y=3，不符合共十多个盒子（刚好十个）。故两种包装盒相差13个。D。
方法3：因子倍数。
12x、99 都为3的倍数，则5y也为3的倍数，y为3的倍数。

2. 因子倍数：

11a+7b=121，11a、121、7b都是11倍数

例题：设a，b均为正整数，且有等式11a+7b=132成立，则a的值为

A. 6
C. 4
B. 3
D. 5

解析：解法1：不定方程，倍数法。 132 和11a为11的倍数，故7b也为11的倍数，b为11的倍数。又因 a，b均为正整数，则，。则只能b=11，解得a=5。D。
解法2：代入排除。代入11a＋7b=132，得b为正整数。只有a=5时，b 为整数11，符合。

例题：小张的孩子出生的月份乘以 29，出生的日期乘以 24，所得的两个乘积加起来刚好等于 900。问孩子出生在哪一个季度？

A．第一季度
B．第二季度
C．第三季度
D．第四季度

(1) 整除特性+因子倍数。
假设月份a，日期b，29a+24b=900，24b能被3和4整除，900也能被3 和4整除，故29a也能被3和4整除，也即是12的倍数。
(2)29 不能12整除，则a是12的倍数，a只能12，第四季度。D。

3. 奇偶特性

加法 $12x＋5y=99$ ，未知数相加=常数

例题： 20人乘飞机从甲市前往乙市，总费用为27000元。每张机票的全价票单价为2000元，除全价票之外，该班飞机还有九折票和五折票两种选择。每位旅客的机票总费用除机票价格之外，还包括170元的税费。则购买九折票的乘客与购买全价票的乘客人数相比

A. 两者一样多
C. 买全价票的多2人
B. 买九折票的多1人
D. 买九折票的多4人

全价为2000，九折为1800，五折为1000，设分别买x，y，z张：x＋y＋ z=20，2000x＋1800y＋1000z＋170×20=27000。求x与y的关系，应消z，得5x＋4y=18。x必然为偶数，当x=2时，得 y=2，即两者一样多。A。

4. 代入排除

例题：某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品；若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人？

A. 6
C. 4
B. 5
D. 3

解析：代入排除法

设一、二、三等奖的职工人数分别为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ， $\begin{cases} 5x + 3y + 2z = 25 \quad \text{①} \\ 6x + 3y + z = 25 \quad \text{②} \end{cases}$ 将 $\text{②} \times 2$ 。

从 ① 得： $7x + 3y = 25$ 代入 A 选项， $y = 6$ ，解得 $x = 1$ ， $z = 1$ ，符合。 A.

5. 消元法

消一个，再结合倍数特性、奇偶性、尾数法等

例题：某地遭受大自然灾害后，A公司立即组织捐款救灾。已知该公司有100名员工捐款，捐款额有300元、500元和2000元三种，捐款总额为36000元，则捐款500元的员工数是

A. 11 人
C. 13 人
B. 12 人
D. 14 人

解析： 解法1：不定方程 设 300 元、500 元、2000 元捐款人数分别为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ， $x + y + z = 100$ $300x + 500y + 2000z = 36000$ 消 $x$ ，得： $2y + 17z = 60$ 【 $x$ 前的系数最小，消它好算】 奇偶特性 60 与 $2y$ 均为偶数，则 $17z$ 为偶数， $z$ 为偶数。当 $z = 2$ 时，得 $y = 13$ ，符合；当 $z \geq 4$ 的偶数时，解得 $y$ 为负，不满足。故捐款 500 元的员工数是 13 人。C.

解法2：倍数法 $2y$ 和 $60$ 都是 $2$ 的倍数，则 $17z$ 是 $2$ 的倍数， $z$ 是 $2$ 的倍数。 $17z < 60$ ， $z = 2$ ， $y = 13$ 。

6. 替换赋0法

例题：小刚买了3支钢笔，1个笔记本，2瓶墨水花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔，1个笔记本，1瓶墨水共需（）元。

A. 9
C. 15
B. 12
D. 18

解析：

解法 1：赋 0 法 因 $x + y + z$ 为一个确定值，且有无数种情况，因此赋 0 好求解。

$\begin{cases} 3x + y + 2z = 35 \\ 5x + y + 3z = 52 \end{cases}$ 赋 $x = 0$ ，解得 $z = 17$ ， $y = 1$ ，则 $x + y + z = 18$ （元）。D.

解法 2：不定方程 设钢笔价格单位为 $x$ 、笔记本 $y$ 、墨水 $z$ ，钱不宜用整数除法，可以有小数。

$\begin{cases} 3x + y + 2z = 35 \quad \text{①} \\ 5x + y + 3z = 52 \quad \text{②} \end{cases}$ 将 $\text{①} \times 2 - \text{②}$ ，得： $x + y + z = 18 \ \text{（元）}.$

7. 配系数法

例题：甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了 43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?

A. 21 元
C. 10 元
B. 11 元
D. 17 元

解析：

解法 1：赋 0 法，假设法 设签字笔、圆珠笔、铅笔单价分别为 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 元， $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$ 由于 $y$ 的系数最大，可赋 $y = 0$ ，代入 $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①}$ 和 $4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$ ，解得 $x = 11$ ， $z = -1$ 。

故三种笔各买一支共： $11 + 0 + (-1) = 10 \ \text{（元）}.$ C.

（拓展：因为没有限定 $a, b, c$ 特性，所以其实有无数种解，可以任意假设一个值，赋 0 可，假设其他值也可，比如 $a = 3$ ，再相应求出 $b$ 和 $c$ 。赋 0 时，赋 $x$ 或 $z = 0$ 也一样。）

解法 2：配系数法 $3x + 7y + z = 32 \quad \text{①} \quad ; \quad 4x + 10y + z = 43 \quad \text{②}$ $\text{①} \times 3 - \text{②} \times 2$ ，得： $x + y + z = 10$ C.

方程法赋值法