除法-等比缩放法

核心概念

等比缩放法（也叫凑同比）是资料分析中一种重要的速算技巧，其核心原理是通过同比例调整分子分母，使计算变得更加简便。

基本原理推导

让我们用一个生活中的例子来理解这个概念：

假设小明去超市买苹果，苹果的价格是每斤8元，他买了5斤，总共花费40元。如果苹果涨价到每斤10元，他要花同样的40元，能买多少斤呢？

我们可以列出比例：$\frac{8}{5} = \frac{10}{x}$

解得：$x = \frac{5 \times 10}{8} = \frac{50}{8} = 6.25$斤

但是，我们也可以这样思考：如果价格从8元变成10元，增加了2元，那么相应地，重量也要按比例调整。

关键发现：$\frac{8}{5} = \frac{8+2}{5+1.25} = \frac{10}{6.25}$

这就是等比缩放的基本思想：当分子分母按相同比例变化时，分数值保持不变。

数学表达式

$\frac{a}{b} = \frac{a \pm ka}{b \pm kb} = \frac{a(1 \pm k)}{b(1 \pm k)}$

其中k为缩放系数。

实际应用中的变形

在资料分析中，我们通常采用以下策略：

1. 凑整数：如 $193 \rightarrow 200$，$424 \rightarrow 400$，$1.18 \rightarrow 1.2$
2. 凑百化分数：如 $1.23 \rightarrow 1.25$，$1.62 \rightarrow 1.67$，$30 \rightarrow 33.3$
3. 凑便于计算的数：如 $121 \rightarrow 125$（便于×8）

操作步骤详解

第一步：数据预处理

分子分母通常取三位有效数字（四舍五入）

• 分子分母只有两位时也可以用，一个三位一个两位，两位后添0
• 分子分母尽量保持位数一致

第二步：确定调整策略

将分母凑成：

• 整十、整百、整千（10、100、1000……）
• 方便约分的数字（125、167等）
• 便于百化分的数字

第三步：等比例缩放

根据分母的调整幅度，确定分子的调整方式：

• 加减一位数：按首位倍数调整
• 加减两位数：按首两位倍数调整

真题讲解

主题一：基础除法计算

例1（2024国考模拟）： 计算 $\frac{1284}{104}$ 的值，最接近：

A. 11.9
B. 12.3
C. 12.7
D. 13.2

主题二：增长量计算中的应用

例3（2021福建省考）： 某地区2020年GDP为4901万元，同比增长13.6%，求2020年的增长量：

$\frac{4901}{1 + 13.6\%} \times 13.6\% = ?$

A. 586.7
B. 579.5
C. 568.2
D. 559.4

主题三：复杂分数的处理

例4（2024模拟题）： 计算 $\frac{577}{135}$ 的值：

A. 4.1
B. 4.3
C. 4.5
D. 4.7

主题四：百分数转换中的应用

例5（2023深圳市考）： 某企业2022年营业收入1214.53万元，同比增长14.8%，求增长量：

$\frac{1214.53}{1 + 14.8\%} \times 14.8\% = ?$

A. 149.37
B. 151.76
C. 156.57
D. 161.25

主题五：比值比较中的应用

例6（2024国考模拟）： 比较 $\frac{2847}{96}$ 和 $\frac{3156}{108}$ 的大小：

A. 前者大
B. 后者大
C. 相等
D. 无法确定