一、核心概念

数字推理中的数列问题，本质上是发现并利用数字之间的隐藏规律。基础数列主要包括以下几种类型：

1. 等差数列：这是最简单、最基础的数列。它的特点是相邻两个数字之间的差是一个常数，我们称之为“公差”。

   • 生活实例：想象一下你正在电影院看电影，你的座位是7排5号。你前面的座位是6排5号，再前面是5排5号。这个排数 7, 6, 5, ... 就是一个等差数列，公差是-1。或者你每个月固定存500元，那么你的存款总额 500, 1000, 1500, 2000, ... 就是一个公差为500的等差数列。
   • 公式推导：
     • 设首项为 $a_1$，公差为 $d$。
     • 第二项：$a_2 = a_1 + d$
     • 第三项：$a_3 = a_2 + d = (a_1 + d) + d = a_1 + 2d$
     • …
     • 第n项（通项公式）：$a_n = a_1 + (n-1)d$

2. 等比数列：它的特点是相邻两个数字之间的比是一个常数，我们称之为“公比”。

   • 生活实例：一张纸对折一次变成2层，再对折一次变成4层，再对折就是8层; 这个层数 1, 2, 4, 8, 16, ... 就是一个等比数列，公比是2。
   • 公式推导：
     • 设首项为 $a_1$，公比为 $q$。
     • 第二项：$a_2 = a_1 \cdot q$
     • 第三项：$a_3 = a_2 \cdot q = (a_1 \cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2$
     • …
     • 第n项（通项公式）：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

3. 和数列与差数列：

   • 和数列：从第三项开始，每一项都是它前面两项的和。最著名的例子就是斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...。
   • 差数列：从第三项开始，每一项都是它前面两项的差。例如 10, 6, 4, 2, 2, 0, ...。

4. 积数列与商数列：

   • 积数列：从第三项开始，每一项都是它前面两项的积。例如 1, 2, 2, 4, 8, 32, ...。
   • 商数列：从第三项开始，每一项都是它前面两项的商。例如 27, 9, 3, 3, 1, 3, ...。

5. 质数与合数数列：

   • 质数 (又称素数)：只能被1和它本身整除的大于1的自然数。例如 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...。
   • 合数：除了1和质数以外的自然数。例如 4, 6, 8, 9, 10, 12, ...。
   • 易错点：数字2是唯一的偶数质数，而1既不是质数也不是合数。

6. 多次方数列：

   • 平方数列：$1^2, 2^2, 3^2, ...$ 即 1, 4, 9, 16, 25, ...。
   • 立方数列：$1^3, 2^3, 3^3, ...$ 即 1, 8, 27, 64, 125, ...。
   • 这些数列经常以 n^2 + k 或 n^3 - k 的形式出现，需要我们对常见平方数和立方数非常熟悉。

7. 交叉数列 (分组数列)：

   • 当一个数列本身没有明显规律时，可以尝试将其奇数项和偶数项分开，看它们是否分别构成独立的、有规律的数列。

二、真题讲解

主题：交叉数列

例1：3，4，6，8，（），14

• A、10
• B、11
• C. 12
• D. 13

主题：质数数列

例2：31，29，23，（ ），17，13，11

• A、21
• B、20
• C、19
• D、18

主题：复合构造数列

例3：3、5、8、11、16、19、（）

• A、20
• B、22
• C、24
• D、26

主题：等比数列变种

例4：243，162，108，72，48，（）

• A、26
• B、28
• C、30
• D、32

三、技巧总结

1. 趋势判断：

   • 平稳变化 → 优先考虑 等差 或其变种。
   • 急剧变化 → 优先考虑 等比、多次方 或其变种。
   • 来回摆动 → 优先考虑 交叉数列 或 正负交错 的摆动数列。

2. 方法论：

   • 作差是基础：拿到数列先作差，差无规律再作差（二级等差），这是最常用的方法。
   • 作商与作和/积：当数字变化趋势明显时，果断尝试作商、作和、作积。
   • 分组观察：对于项数多（≥6项）且规律不明显的数列，一定要想到 奇偶分组（交叉数列）。

3. 数字敏感性：

   • 背熟常用数字：对 20 以内的平方数（1, 4, 9, 16, … , 400）、10 以内的立方数（1, 8, 27, …, 1000）以及 100 以内的质数（2, 3, 5, …, 97）要做到烂熟于心，看到数字就要能立刻反应出其“身份”。

4. 大胆假设，小心求证：

   • 数字推理的规律有时不止一种，当你找到一种看似合理的规律后，一定要代入题目中的所有已知项进行验证，确保你的规律是普适的，而不是局部巧合。

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